橢圓參數(shù)方程

操作方法

參數(shù)方程由來(lái)：
圓的參數(shù)方程[特殊情形，圓心(0,0)，半徑R]
{x=Rcosαy=Rsinα(α為參數(shù)，0≤α<2π)
其參數(shù)α的幾何意義是圓上動(dòng)點(diǎn)和圓心連線的旋轉(zhuǎn)角，如下圖所示；

圓的參數(shù)方程[一般情形，圓心(m,n)，半徑R]
{x=m+Rcosαy=n+Rsinα(α為參數(shù)，0≤α<2π)
注意：很多容易和極坐標(biāo)的坐標(biāo)(ρ,θ)中的θ混淆，如圖所示，參數(shù)α=∠ACP；范圍α∈[0,2π]

橢圓的參數(shù)方程
{x=acos?y=bsin?(?為參數(shù)，0≤?<2π)
其參數(shù)?的幾何意義是對(duì)應(yīng)的大圓或小圓半徑的旋轉(zhuǎn)角∠AOM，也就是橢圓的離心角．不是橢圓上動(dòng)點(diǎn)和中心連線的旋轉(zhuǎn)角∠AOP；切記！雖然∠AOM和∠AOP二者不相等，但是很顯然這二者也是一一對(duì)應(yīng)的，并且它們的范圍都是[0，2π).

列子：已知橢圓的參數(shù)方程為{x=2costy=4sint (t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t=π3，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為3–√。
分析：這個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的，怎么糾正呢？

當(dāng)t=π3時(shí)，代入得到x=2cosπ3=1，y=2sinπ3=23–√，故M(1，23–√)，
則kOM=y?0x?0=23–√。

化為參數(shù)方程：
介紹一個(gè)容易記憶的方法：
類比：cos2θ+sin2θ=1
當(dāng)圓為x2+y2=4時(shí)，先轉(zhuǎn)換為(x2)2+(y2)2=1，
cos2θ+sin2θ=1
(x2)2+(y2)2=1
對(duì)應(yīng)上式，得到cosθ=x2，sinθ=y2，
故圓的參數(shù)方程為{x=2cosθy=2sinθ(θ為參數(shù))；
當(dāng)然，我們還可以這樣交叉對(duì)應(yīng)，
得到sinθ=x2，cosθ=y2，
故圓的參數(shù)方程還可以為{x=2sinθy=2cosθ(θ為參數(shù))；

【說(shuō)明】①由此說(shuō)明，當(dāng)我們?nèi)〉膮?shù)不一樣時(shí)，圓的參數(shù)方程是不一樣的，
即圓的參數(shù)方程可能不唯一。兩種參數(shù)的含義不一定一樣。
②我們約定俗成的取法是第一種。
③參數(shù)方程的參數(shù)有時(shí)候有明確的幾何意義，有時(shí)候沒(méi)有。
當(dāng)圓為(x?a)2+(y?b)2=R2時(shí)，
先轉(zhuǎn)換為(x?aR)2+(y?bR)2=1，
對(duì)應(yīng)上式，得到cosθ=x?aR，sinθ=y?bR，
故圓的參數(shù)方程為{x=a+Rcosθy=b+Rsinθ(θ為參數(shù))；
當(dāng)橢圓為x2a2+y2b2=1時(shí)，
先轉(zhuǎn)化為(xa)2+(yb)2=1，
對(duì)應(yīng)上式得到cosθ=xa，sinθ=yb，
故橢圓的參數(shù)方程為{x=acosθy=bsinθ(θ為參數(shù))；

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