從畢設中期答辯以后，本人開始著力于信號處理方面知識的學習，這里面的玄機確實說不清道不明，剪不斷理還亂。 在學習過程中，發現很多值得去探索和分析的地方，而且好多前輩都很無私的分享了。 愚目的很簡單：就是想把這階段所學的知識整理整理思路，希望能

從畢設中期答辯以后，本人開始著力于信號處理方面知識的學習，這里面的玄機確實說不清道不明，剪不斷理還亂。
在學習過程中，發現很多值得去探索和分析的地方，而且好多前輩都很無私的分享了。
愚目的很簡單：就是想把這階段所學的知識整理整理思路，希望能得到大神指點。
這階段學習的思路：（希望今后能把這些板塊都 補齊）
- 傅里葉變換和小波分析
- 小波分析的應用
- EMD算法
- 圖像識別
- 軸承故障診斷方法研究
- 聲發射法AE
- 負壓波故障診斷
- 字典學習

傅里葉變換與小波分析

1.1傅里葉變換
先說說經典的傅里葉變換和逆變換：

可以看出，F（W）實際上是對原信號f(t)做了頻譜分析。即f（t）是時間域的表達，F（w）是頻率域的表達。
這些都比較簡單，大家可以翻下書，再看看傅里葉變換的基本性質:
- 線性性質

- 位移性質

- 頻移性質

- 卷積定理

- 對稱性

- 能量積分

大家別看這些公式望而生畏，確實就是傅里葉變換公式的推導，所以，不懂或者記不住都無所謂。問我之所以先將傅里葉變換的基本性質擺出來，是讓大家能回憶起曾經學過的最基本的知識。百度百度傅里葉的歷史，怎么來的，整個過程是怎么發展的。這些都能使得我們更好地理解小波的出現和發展的整個過程。

最后，貼一張圖說明傅里葉變換能做什么，很清楚，兩個時間域的混合信號在頻率域一下把特性反應出來了，一目了然。提醒：接下來的小波變換的優勢就是體現在它能反映出很多信號在時間域所不能觀察到的信息和特性。這些特性應用范圍很廣，不用多說，大家一百度就知道了。

1.2短時傅里葉變換

上圖很明顯反映傅里葉變換的一個缺點：就是如果我想知道，第二列的圖是什么時候從高頻變到窄頻，此時它是做不到的。發現沒有，傳統的傅里葉變換有個問題：就是時間域的分析和頻率域的分析是完全分開的。也就是說，傅里葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時間域不存在這種能力。有什么辦法能把時間域和頻率域聯系起來呢？有！

看，相比標準傅里葉變換，多加了一個‘時間窗函數’。
咱們可以這樣理解此公式的意義：S（w，t）大致反映了f（t）在時刻t、頻率為w的時候，信號成分的相對大小。所謂時間窗的意思，可以理解為我重點關注的對象是這個信號在我這個窗口下的特征，而其他部分我暫時忽視，那么意義就變成時間和頻率強行的聯系在了一起，我此刻得到的頻率那是時間窗在位置t時候的頻率。這對實際信號的研究很有幫助。（ps：窗函數可以有不同類型，性質也不盡相同）

同樣，短時傅里葉變換也滿足上面的一些性質的公式推導，在這就不多提了。（百度）
短時傅里葉變換雖然在一定程度上克服了標準傅里葉不具有的局部分析能力的缺陷，單它也存在著自身不可克服的缺陷，即當窗函數確定后，窗口的類型和范圍也就確定了，即使你怎么移動，它都不會放大縮小。這是關鍵，也就是說，理應我們觀察信號的時候，高頻信號（含的信息比較密），那我們應該選擇窗口比較窄；低頻信號（含的信息比較密），那我們應該選擇窗口比較寬。但短時傅里葉不能判斷這一點，窗口大小也不會跟著信號頻率調整。

1.3小波分析
Ok，終于引出小波分析來了。當然，小波分析能解決上面那個問題。最近在看奇葩說，里面馬東一句話：低維度的生物永遠理解不了高維度生物在干神馬。直線肯定理解不了平面，平面也理解不了空間。
最近知識學的越來越多，發現探索的理論也越來越深。其實，整體看下來，人類一直是在不斷的向著高維事物去探索，在處于低維思維試圖去理解和解釋高維，用低維的理論去類比高維，對，我說的是類比。這應該是人類最聰明的學習能力。（廢話，強行裝一波逼。哈）
1.3.1小波發展的歷史和應用
大致了解一下這些大牛，然后看下時間，你會發現小波大概也是80年代的產物。此時的產物還有神經網絡、SVM等等。這些思想都是把信號從高維轉到低維研究的。距離現在30年左右，懸念是這30年，又有哪些科學理論產物，又先進在哪，這也是我想把這階段的學習寫下來的目的。

1.3.2從短時傅里葉變換到小波變換

簡單不！上面那個破公式就是前面說的短時傅里葉變換（STFT）,就是把那個窗函數 變成了 。唯一多了一個變量，也就是a，傻子都能想到，不就是解決了剛才說的那個窗口不能放大縮小的問題嘛！(下圖呵呵，小波函數，尺度參數a改變，左邊的大氣點，右邊的細致點，大氣要用在大氣的場合，細致的活才能用精細的工具干，（小波函數的類型也可以多種多樣，那個矩形框haar小波算是最簡單的一種）所以小波很大程度上在研究使用的場合問題)。因此，被被譽為“數學顯微鏡”，它是調和分析發展史上里程碑式的進展。
剛才說a變成了變量。所以將窗函數里的a提取出來和w作為一個整體的參數（w/a）豈不是就能通過控制尺度參數（w/a）來控制窗口尺寸。哈！完美！
好了。接下來真正開始定義小波變換，其實就把小波函數轉換一下形式。如下所示，紫色框內這樣做是有物理含義的：想想以前高中學的變量t減去b就是時間向右偏移，a相當于整體放大或者縮小（在上文已經說明）。再在上面乘上個a-1/2保證做這樣變換之后還是一個即向量，可以理解為還是單位向量。

當然還有小波變換的逆變換:

還有些小波基本的概念:
①互尺度譜

②小波能譜和互譜
(ps：知道有這個概念就行。)
順嘴，還是提下小波變換分辨率的問題，還是我一直在提的a，b參數影響小波窗函數，從而影響到小波在應用時的條件選擇。大家要時刻記住這一點，之后介紹的多分辨小波跟這些參數就有很大的關系。

1.3.3小波的基本理論
為了更好更全面的理解小波還是要借助數學公式加上物理含義的理解。我將很細致地演示一下過程，希望對完整的理解小波變換有幫助。（整個過程由于公式較為編譯繁瑣，故在紙上做演示）
①能量守恒（兩個域之間轉換能量不變）

②范數守恒（即轉換到小波域長度沒發生變化）：這說明一個道理，任何基于向量基的變化其實就是看這個向量的角度發生了改變，其實質的內涵沒有變。（其實像哲學里的看問題的角度發生了變換，問題本身沒有變，但理解問題的角度多了，針對問題的解決方法豈不是更多了，任何問題的解決辦法只有最適合，沒有最難）

③逆變換

我們定義為dadb/a2為測度。再來借小波變換的逆變換加深一下對小波在實際過程中去噪的功能：
很簡單說明，實際過程中可以把信號先轉化到 小波域；get到了嗎?因為是實際情況，它肯定有誤差，如果我們知道誤差的分布，那么，哈哈，就可以調節a，誤差越大的地方我把a調的越大，那么1/a2就使得該快成分很小；反之，越精確的地方我把a調的越小。

OK!其實基本的連續小波定理就這么些，已經介紹完了。但是，在工程實際應用的角度來說，這公式還使我的問題變得更復雜了（原來是時間域的一維信號，現在變成了a，b兩個參數的二維信號，似不傻）。再次用哲學的觀點來解釋，一維變到二維，包含的信息或者說事物的性質很多是我們未知的需要探索的寶藏，新觀點也更多了，但同時問題也變得跟復雜了。人類聰明的地方在于，把問題弄復雜之后還能總結提煉，對問題做情況限制，再提煉到一維或者接近一維，是不是對問題的理解上到了一個新的高度。哈哈哈!牛逼!

所以，接下來的工作就是簡化，然后簡化后的小波再套入到性質公式看又沒改變，性質還能不能拿來用。

1.3.4二進小波


右圖很明顯表達了二進小波思想，還是更尺度a有關，w小的部分需要更細致采樣，所以尺度窗口窄；反之，尺度窗口越來越大。
看到沒，對尺度參數做些限制，對a抽樣，令參數a=2j，j屬于整數，而b仍取連續值。
然后就依照性質啪啪啪推導，滿足性質的二進小波：

反正，就是重構二進小波，推導滿足該條件。呵呵，不理會它，我們只要能理解過程就行。講這個是為了引出下面要講的正交小波，思路還是一樣的。

1.3.5正交小波和多分辨分析
①正交小波
剛才二進小波只把a離散了對吧，現在我想把b也離散化。這樣，我就實現了把原來二維降到了0維（離散化連一維都不算，是不是很厲害）。
a=2^-j;b=2^-j*k。

這樣多分辨分析的概念也就順其自然地說出來了：即如何找到這樣一個信號，它的二的整數倍的伸縮和二的整數倍的偏移構成它的標準正交基。
逆變換如下：（很容易理解原函數可以重新用這組正交小波基表示出來）
http://ssvideo.chaoxing.com/playvideo.asp?id=225055&d=f61986be3590588afe0c673745b81e0a
可以買個淘寶賬號，看看哈工大老師冉啟文講的小波。講的太好了!校園網可能免費能看。

ɑj,k=Wf(a,b)= Wf(2^-j, 2^-j*k)
OK，整體的正交小波的大致了解很簡單，就已經介紹完了。為了加深一下印象，舉一個例比較常見的正交小波，Haar小波。
Ex1. Haar小波

顯然, 的整數位移互相之間沒有重疊，所以 ，即它們是正交的。

解釋：對于多分辨率而言，尺度函數與小波函數共同構造了信號的分解。這里尺度函數可以由低通濾波器構造，而小波函數則由高通濾波器實現。這樣的濾波器組就構成了分解的框架。而同時我們可以看到，低通濾波器的尺度函數可以作為下一級的小波函數和尺度函數的母函數。說明白些，其實尺度函數表征了信號的低頻特征，小波函數才是真正逼近高頻的基。利用尺度函數可以構造出小波函數。

注：圖中的尺度函數就是
再看一個經典的正交小波- Shannon小波（如何證明都不看了，自己百度都有，只想說明尺度函數和小波函數之間的關系：從頻域可以看到 和 各自及相互之間的整數移位都沒有重疊，因此它們是正交的。同時，因為也是二進的，從上到下可以看出范圍增大了一倍。）另外，從圖為啥一下能看出來， 屬于低通濾波器， 屬于帶通濾波器。

②多分辨分析
有了前面的概念，正式開始介紹多分辨分析（MRA）

上圖，Vm其實就是尺度函數的集合，Wm為小波函數的集合。看圖一下子就懂了兩者的關系，V是一個圓，W是一個帶。哈哈，你把這個套入到剛才那個Shannon小波肯定滿足對吧。
注意：現在多分辨分析的思想就是，構造這樣一個尺度參數Wm，不斷累加累加，就可以忽略掉那個小小的一塊VN可以完全表示信號。

那問題就來了!如何構造尺度參數？


如何構造尺度函數是小波變換理論研究中的重要方向，其實質是雙尺度差分方程求解，常用涉及迭代過程。

另附Mallat算法（matlab版）

http://wenku.baidu.com/link?url=f2HOcGSdSNMDNAVH7AaJCkagvJbNmZ_AYLb-lD4vSdP6SEMvG-mRXan786SM4kInSgOXVoSSuHOjW_6BlMREmUxJuK54X1rb2b7wEKNwa4C

聲明：本網頁內容旨在傳播知識，若有侵權等問題請及時與本網聯系，我們將在第一時間刪除處理。TEL:177 7030 7066 E-MAIL:11247931@qq.com