浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍

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浮點(diǎn)數(shù)表示

一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)（Floating Point Number）由三個(gè)基本成分構(gòu)成：符號(hào)（Sign）、階碼（Exponent）和尾數(shù)（Mantissa）。通常可以用下面的格式來(lái)表示浮點(diǎn)數(shù)：

其中S是符號(hào)位，P是階碼，M是尾數(shù)。

根據(jù)IEEE（美國(guó)電氣和電子工程師學(xué)會(huì)）754標(biāo)準(zhǔn)中的定義，單精度浮點(diǎn)數(shù)是32位（即4字節(jié)）的，雙精度浮點(diǎn)數(shù)是64位（即8字節(jié)）的。兩者的S、P、M所占的位數(shù)以及表示方法由下表可知：

其中S是符號(hào)位，只有0和1，分別表示正負(fù)

P是階碼，通常使用移碼表示（移碼和補(bǔ)碼只有符號(hào)位相反，其余都一樣。對(duì)于正數(shù)而言，原碼、反碼和補(bǔ)碼都一樣；對(duì)于負(fù)數(shù)而言，補(bǔ)碼就是其絕對(duì)值的原碼全部取反，然后加1）。階碼可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)，為了處理負(fù)指數(shù)的情況，實(shí)際的指數(shù)值按要求需要加上一個(gè)偏差（Bias）值作為保存在指數(shù)域中的值，單精度數(shù)的偏差值為127，雙精度數(shù)的偏差值為1023。例如，單精度的實(shí)際指數(shù)值0在指數(shù)域中將保存為127，而保存在指數(shù)域中的64則表示實(shí)際的指數(shù)值-63，偏差的引入使得對(duì)于單精度數(shù)，實(shí)際可以表達(dá)的指數(shù)值的范圍就變成-127到128之間（包含兩端）。

M為尾數(shù)，其中單精度數(shù)為23位長(zhǎng)，雙精度數(shù)為52位長(zhǎng)。IEEE標(biāo)準(zhǔn)要求浮點(diǎn)數(shù)必須是規(guī)范的。這意味著尾數(shù)的小數(shù)點(diǎn)左側(cè)必須為1，因此在保存尾數(shù)的時(shí)候，可以省略小數(shù)點(diǎn)前面這個(gè)1，從而騰出一個(gè)二進(jìn)制位來(lái)保存更多的尾數(shù)。這樣實(shí)際上用23位長(zhǎng)的尾數(shù)域表達(dá)了24位的尾數(shù)。例如對(duì)于單精度數(shù)而言，二進(jìn)制的1001.101（對(duì)應(yīng)于十進(jìn)制的9.625）可以表達(dá)為1.001101 × 23，所以實(shí)際保存在尾數(shù)域中的值為00110100000000000000000，即去掉小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的1，并用0在右側(cè)補(bǔ)齊。
根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)要求，無(wú)法精確保存的值必須向最接近的可保存的值進(jìn)行舍入，即不足一半則舍，一半以上（包括一半）則進(jìn)。不過(guò)對(duì)于二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)而言，還多一條規(guī)矩，就是當(dāng)需要舍入的值剛好是一半時(shí)，不是簡(jiǎn)單地進(jìn)，而是在前后兩個(gè)等距接近的可保存的值中，取其中最后一位有效數(shù)字為零者。

據(jù)以上分析，IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中定義浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍為：

浮點(diǎn)數(shù)的表示有一定的范圍，超出范圍時(shí)會(huì)產(chǎn)生溢出（Flow），一般稱大于絕對(duì)值最大的數(shù)據(jù)為上溢（Overflow），小于絕對(duì)值最小的數(shù)據(jù)為下溢（Underflow）。

浮點(diǎn)數(shù)的表示約定

　　單精度浮點(diǎn)數(shù)和雙精度浮點(diǎn)數(shù)都是用IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)定義的，其中有一些特殊約定，例如：
　　1、當(dāng)P=0，M=0時(shí)，表示0。
　　2、當(dāng)P=255，M=0時(shí)，表示無(wú)窮大，用符號(hào)位來(lái)確定是正無(wú)窮大還是負(fù)無(wú)窮大。
　　3、當(dāng)P=255，M≠0時(shí)，表示NaN（Not a Number，不是一個(gè)數(shù)）。
非規(guī)范浮點(diǎn)數(shù)

當(dāng)兩個(gè)絕對(duì)值極小的浮點(diǎn)數(shù)相減后，其差值的指數(shù)可能超出允許范圍，最終只能近似為0。為了解決此類問(wèn)題，IEEE標(biāo)準(zhǔn)中引入了非規(guī)范（Denormalized）浮點(diǎn)數(shù)，規(guī)定當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)為允許的最小指數(shù)值時(shí)，尾數(shù)不必是規(guī)范化（Normalized）的。有了非規(guī)范浮點(diǎn)數(shù)，去掉了隱含的尾數(shù)位的制約，可以保存絕對(duì)值更小的浮點(diǎn)數(shù)。而且，由于不再受到隱含尾數(shù)域的制約，上述關(guān)于極小差值的問(wèn)題也不存在了，因?yàn)樗锌梢员４娴母↑c(diǎn)數(shù)之間的差值同樣可以保存。
根據(jù)IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中的定義，規(guī)范和非規(guī)范浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍可歸納為下表：

與IEEE 754相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)

本文的結(jié)論基于IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)，另外一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是IEEE 854，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)于十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)的，但沒(méi)有規(guī)定具體格式，所以很少被采用。另外，從2000年開(kāi)始，IEEE 754開(kāi)始修訂，被稱為IEEE 754R，目的是融合IEEE 754和IEEE 854標(biāo)準(zhǔn)。該標(biāo)準(zhǔn)在浮點(diǎn)格式方面的修訂有：1、加入了16位和128位的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)格式；2、加入了十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)格式，采用了IBM公司提出的格式。

總結(jié)：

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